中国宋元数学论文5600字_中国宋元数学毕业论文范文模板

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　　中国宋元数学论文5600字(一)：宋元数学著述序跋中的数学起源和功用论论文

　　摘要：宋元时期秦九韶、李冶和杨辉数学著作的序言中反映出，该时期的中算家认为数学知识源于生产实践并由“圣人则之”.而数学功用则依次表现为三个递进的层次：尽管数学是六艺之末，但在服务于生产实践和社会生活活动中可经世和类物；数学家们从事数学研究是为了“通神明，顺性命”，数学家在数学创造过程中有强烈的美感体验数学生于道，最终还要进于道，最后尝试性地分析了中国数学起源观形成的原因.

　　关键词：宋元；数学起源；数学功用

　　0引言

　　宋元时期秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰是很有代表性的数学家，因为朱世杰的数学著作没有自序，所以主要选取秦九韶所著《数书九章》、李冶的《测圆海镜》和《益古演段》以及杨辉所写《详解九章算法》、《续古摘奇算法》和《日用算法》的序言，来讨论其中所反映出来的数学起源观和数学功用论.当然仅以序言文本为依据得到的相关结论，还需其他更多文献和更多论据支持，这需要后继研究和讨论.

　　从唐以前中算书中，特别是《算经十书》的序言中，我们可以看出唐以前的数学家认为数学源于实践并由圣人所制.数学的功用依次分为：算在六艺；从事数学研究可通神明之德，类万物之情；以阐世术之美[1]三个依次递进的层次.而且这个阶段的数学思想与儒家思想水乳交融密不可分.

　　而宋元时期数学著作序言中反映出来的数学起源和功用论，基本承袭了唐以前的观点，只是在表述上略有不同.即：数学知识源于生产实践并由“圣人则之”.而该时期数学的功用分为三个层次：尽管数学是六艺之末，但在服务于生产实践和社会生活活动中可经世和类物；数学家们从事数学研究是为了“通神明，顺性命”，数学家在数学创造过程中有强烈的美感体验数学生于道，最终还要进于道.但与唐以前的数学思想多受儒家文化影响不同，宋元时期的数学思想多打上了道家文化的烙印.

　　1从算书序言看秦九韶、李冶和杨辉的数学起源和功用论

　　1.1秦九韶的数学起源和功用论

　　秦九韶对数学起源的认识和观点在他数学著作的序言，特别是《数书九章》序[2－3]中表露无遗[4－5].“圣有大衍，微寓于《易》”[2]35－44，他认为数学起源于周易.在“爰自河图、洛书……圣人神之……要其归.则数与道非二本也”[3]439中，他的这一观点则更加具体和详细.这一观点与刘徽的“圣人则之”的看法基本一致，如“神禹奠之”，“周教六艺，数实成之”[3]439.但与刘徽不同的是，他的数学起源论中充斥着当时大语境“道”的影子，如他提到“道本虚一”故“述大衍第一”，又如：太虚生一，周流无穷.由此，他的思想必然受到了道家的影响，即他所谓“数与道非二本也”.

　　秦九韶把中算分为“内、外”两种算学，即《九章算术》类的公开流传的大众算学为外算，秦九韶称之为小数术，而其中隐秘不传的部分是大数术即外算.显然秦九韶也持数学的易学起源说，内外算的划分标准则源于其对数学功用论的认识.“经万事，类万物”是数学“外算”的功用，而“通神明，顺性命”的功能只有在算学中的内算中才能实现.而且他自鸣得意的数学成就“大衍之数”就源自《周易》的“大衍之数”.当时的“外算”即现在我们理解的数学范畴，尽管“内算”具有神秘色彩的功用，就其“算”的本质而言，“内外算”的边界非常模糊.同时，秦九韶也指出“外算”只是相对“内算”而言存在的，二者功用相同，不分彼此，“其用相同，不可岐二”.[6]

　　秦九韶的数学实用论思想认为数学具有“类物”和“通神”两大功能.显然，他认为数学的主要功用是实用，这从《数书九章》的“目曰大衍，曰天时，曰田域，曰测望，曰赋役，曰钱谷，曰营处，曰军旅，曰市易”[5]332中不难看出.再者，秦九韶的“内外算”定义的分野决定了其两个递进的数学功用论认知，同时这两个层次的功用也是他划分“内算”和“外算”界限的标准.显然，秦九韶“外算”的功用论“经世务，类万物”来自刘徽的“昔在包牺氏始画八卦……以类万物之情……虽天圆穹之象犹曰可度.”[7]秦九韶“内算”的功用论“通神明，顺性命”，说明数学在摹写自然的同时，实在与自然界的内在固有的“规律”和“序”进行交流和对话，这与刘徽所论“包牺氏始画八卦，以通神明之德”一脉相承.

　　1.2李冶的数学起源和功用论

　　《测圆海镜》序[8]、敬斋先生《测圆海镜》后序[9]、《益古演段》序[10]和《益古演段》自序中包含了李冶的“皆以九章为祖，而刘徽李淳风又加注释，而此道益明”[10]875的数学《九章》流变观.但谈到数学的起源时，他认为“数出于自然”即数学是自然的固有属性，但是即使是“轩辕、隶首”再生也很难真正穷尽自然之妙.从李冶的序中看出，他的数学“起源观”多因循旧说，也认为数学是自然的固有，但数学仍有圣人“轩辕、隶首”首创.这都未超出刘徽所论.与秦九韶强调特别是“内算”的易学起源不同，李冶强调的不多.

　　李冶、秦九韶的数学“功用论”基本一致，首先认为数学最基本的功用是六艺之一，“数学在六艺为末，求之人最为切要”，是社会生活和生产实践的“切要”，这是数学最实用的物质需求部分.而“苟能推自然之理，以明自然之数”[8]51，就是数学功用论中的较低层次的精神需要了，即数学研究就是显化自然固有的“理”和“数”，从而实现人与自然的深层次的对话.这与前文提到的刘徽和秦九韶的看法一致，只是表述不同而已.

　　另外就数学功用论而言，除了基本的社会生活和生产实践的物质方面的需求外，还有数学家们试图通过数学描摹自然从而想与自然对话和交流的功能.在完成这两个功能后，数学家在数学实践和创造中必然会有相应的数学美学体验.刘徽就说数学研究的目的或者说具有“以阐世术之美”功用，李冶也有明确的类似说法.李冶认为尽管数学是“九九贱技”，但“道”既是数学的根源，又是数学的归宿“小数为大道所归”.而且他说：“安知轩隶之秘不于是乎始？”即他认为传说中的“轩辕”和“隶首”也是在数学创造中得“道”的.简言之，他认为通过对数学的研究可以“近乎道”，同时在这个过程中也可以得到数学美的享受.这种数学审美的体验不仅体现在他具体的数学工作中，“使粗知十百者便得入室啖其文，顾不快哉！”而且，一直伴随他的终生，“老大以来，得洞渊九容之说，日夕玩绎，而向之病我者，使爆然落去……”[8]51临终前的唯一的牵挂也是他数学研究的心血结晶，他在序中说道，《测圆海镜》虽九九小数……后世必有知者.后来砚坚对此也说：“先生于六艺百家，靡不串贯，文集近数百卷，常谦谦不自伐.惟于此书，不忘称异于易簣之间，想有玄妙内得于心者.”[8]51从这些文字中，我们都能感觉到李冶在数学研究过程中体会到了强烈的美感体验，其本质力量通过数学研究和数学成就而具体地显现出来.

　　1.3杨辉的数学起源和功用论

　　《详解九章算法》荣棨序、杨辉《日用算法》序[11]和杨辉《续古摘奇算法》序[12]中都包含着杨辉的数学起源观，杨辉认为圣人所制之数源于“道”，这一点与李冶很接近，其梳理的数学发展脉络为：“昔黄帝时大夫‘隶首’创此艺，继得周公著《九章》，战国则有魏刘徽譔《海岛》至汉甄鸾注《周髀》《五经》，唐李淳风校正诸家算法”，那么数学的起源是什么呢？他说：“数学为‘隶首’首创，生于道，成于九.”最后，他强调数学是自然界固有的“道”是先天而存在的，他说：“万物莫逃乎数.是数也，先天地而已存，后天地而已立……”[11]1452

　　杨辉的数学功用论与历史上其他的数学家也基本相同，但不同于以往说数学在“六艺”属“六艺之末”不同，他说数学是六艺之一，这种细微变化说明数学在他心目中地位是与其他“五艺”并列，而无尊卑和顺次关系，并强调数学是历代名人贤士所重视的一项技艺.而且数学应用范围极其广泛：若施之于圭表，则穹窿之天可考，推日月之晦明，步五星之盈缩，验晨昏昼夜不移，行气候寒暑无忒……[10]950另外，他的数学实用论在他的教育思想中也有所体现，他主张数学教育贯彻“须责实用”的思想，他在《日用算法》中说：“以乘除加减为法，秤斗尺田为问；用法必载源流，命题须责实用.”[11]1452其书中多次引用台州、黄岩围量田图等实例.另外，杨辉也认为“万物莫逃乎数.是数也，先天地而已存，后天地而已立……”[10]950即数学研究是在摹写自然，可以通神类物.

　　2道家影响下的宋元数学思想及数学起源论

　　《周易》既是儒家也是道家的经典之作，是你中有我我中有你不可分割的中华文化中的两个方面.因此，讨论数学与儒家和道家的关系时，都不可避免的提到易学.数学家刘徽博采先秦诸子和两汉学者众家之长，作为极具传统文化素养的学者，必然会受到《周易》和《周礼》等儒家经典著作的巨大影响，在论及数学早起发展时采用传说的伏牺和黄帝“制数”说，刘徽的数学“起源观”受到儒家思想的影响并不奇怪.宋元时期道教繁荣的语境下秦九韶、李冶和杨辉的数学思想受到道家影响也在情理之中.

　　道家特别是邵雍学派对秦九韶的影响很大，他很推崇并高度评价宋朝初年的道士陈拓，耳濡目染之下使“秦九韶成为两宋道学的忠实信徒，并将道学的思想方法直接渗透到了他的数学成果之中”.[13]同样，在他的序言里也能看到他受道家影响的痕迹，他认为“物莫不有数”，这里的“数”即为“道”，如其所言“道与数非二本”，最后他也指出，研究数学最终的归宿是“曲艺可遂也，愿进之于道”.

　　郭书春先生最先明确指出李冶的工作受到了道家影响，“从推自然之数，以明自然之理的数学研究方法和接受洞渊九容的知识等方面来看，可以肯定地说，李冶深受道家思想的熏陶”.[14]另外，洪万生和盖建民也相关论述和结论，李冶的“立天元一”的代数思想直接源于道教，天元术则源于“洞渊九容”的内容，[15]洪万生则在全真教的学术环境中对李冶数学认识论和作为数学家的正当性进行了辩护和合理的解释.[16]实际上可以说李冶的数学思想直接 ‘提出数学问题’的现状与对策”，很少考虑到师生在互动和交往过程中的与学生自身已有的知识经验与观念系统（如学生的数感、符号感、学习方式等）、教师的数学观等微观层面的影响因素．虽然国内有学者[32]早已意识到此类问题并进行了理论阐述，但要深入理解这些因素对问题提出的影响，还需要走进课堂做进一步的实证研究．

　　4.2关于“问题提出”的认知过程研究

　　综观国内数学问题提出的教学研究，大多关注的是学生提出数学问题的行为结果，对问题提出的认知过程缺乏较深入的研究．从心理学的角度研究学生的问题提出过程，既有利于揭示学生的心理过程和数学思维过程，也有助于学生理解数学的本质，因此，对问题提出认知过程的研究始终是一个焦点话题．然而，就研究者收集到的文献而言，还没有一个专门针对数学问题提出认知过程的研究．虽然也有少数研究者如吕传汉教授和周若虹在研究学生问题提出能力的评价问题时，对学生在提出问题过程中的数学信息处理有所描述[21]，但是却缺乏针对性与系统性，结论难免具有片面性和模糊性，使读者对问题提出的认知过程仍然没有一个明确且深刻的认识．研究的真正目的是为了理解它的“加工过程”，而非“加工产品”，因此，提高对问题提出认知过程研究的关注势在必行．

　　4.3有关“问题提出”的差异性研究

　　国内有很多旨在考察问题提出差异性的研究，但研究范围较窄．例如聚焦于国际教材比较的“中国和美国小学数学教材中问题提出的比较研究”及关注国内教材差异的“数学问题提出与课程演变：两个版本小学数学教材的比较”等研究对于数学教育领域内的“问题提出”的差异性研究只局限于教材的范畴之内；即使有针对课堂教学中问题提出差异性的研究，也很多只与“数学情境与提出问题”的教学实验相关联，且只考虑到学生的整体情况，例如，施文光等人的“数学‘情境—问题’教学与抛锚式教学之比较研究”，未能对不同学段、男女性别等更加具体、细致、个性化的因素给予很多关注．因此，以下问题显然就值得研究者们深入思考：（1）不同学段的学生提出数学问题的策略有何差异？如何针对这种差异性进行教学？（2）在数学学习过程中，男、女学生的问题提出能力有何不同？针对这种不同，实施怎样的教学才有助于提出问题能力的培养？（3）问题解决等其它数学能力不同的学生提出问题的过程有何异同？

　　4.4其它需要深入研究的问题

　　尽管中国的数学问题提出研究已经硕果累累，但是关于问题提出的许多基本问题都还没有得到彻底的解决．比如，数学问题提出能力的评价体系：中国对问题提出能力的评价研究主要着眼于对评价指标的建构上，这是评价的重点，也是难点．然而，评价指标的设计只是为考察学生的问题提出能力提供了基础．事实上，为了增强评价的科学性和有效性，需要形成一个比较完整的评价系统：既有对学生提出问题的“结果”意识，也有对学生提出问题的“过程”意识；既考虑到学生提出的问题的层次，也考虑到学生在提出问题过程中的情感特征；既有教师的监督和管理，又有学生的自评和互评．因此，如何形成有针对性的和多角度的评价体系，以使提出问题能力的评价能基于动、静相结合的方式，这仍然是一个值得教育研究者进一步探究的重要课题．问题提出能力的培养策略研究：中国对学生问题提出能力培养策略的研究大多仍处于现状研究后的方法探索阶段和经验总结阶段，有意识的实证研究取向和富有成效的实证研究方法比较缺乏，真正有代表性的实证研究依然罕见，需要研究者进一步考察中国环境下的问题提出能力的特征，结合中国国情、根据实际需求开展系统规范的问题提出能力的培养研究．此外，数学问题提出的认知机制、问题提出与其它数学能力之间的关系等问题也需要引起广大数学教育研究者的重视．相信对这些问题的探索和解决，不仅有助于问题提出的理论建设，使人们对问题提出的若干理论问题有一个清晰、深刻的认识，而且也为课程改革和教学实践提供切实有效的理论支持和方法指导．