中国古算数学论文7100字_中国古算数学毕业论文范文模板

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　　中国古算数学论文7100字(一)：关于中国古算术语“开方”的几个问题较论文

　　摘要：在中国古代，开方远比乘方逆运算的范围要广，实际上是对一元二次及以上方程求数值解，它是传统数学中的一个重要门类。文章梳理了“开方”及其分类术语的历史源流与含义，考察了一些辞书对“开方”等术语的解释，并对其中不准确的解释进行了纠正。

　　关键词：开方，一元二次及以上方程，数学术语，中国古代数学史

　　一“开方”及其分类术语的产生和 不与传”[14]。《九章比类》后附两则例题并解析，与《历宗算会》中前两则例解相似，可见“金蝉脱壳”在此之前或许名为“乘除易会算诀”，包含乘和除两类算法，不用口诀，均使用更为简单的加减运算完成。

　　另外，早在明代高儒《百川书志》(1540)卷十一中就载有“《金蝉脱壳纵横算法》一卷，不知作者”[15]，但没有具体内容。至于该术语最早出现于哪种算书，目前不好判断。据李兆华介绍，现存残本《九章正明算法》中有“金蝉脱壳4题”，该本为明万历十年(1582)北京重刊本，《算经源流》所记嘉靖己亥(1539)或为初刊年代[16]。那么，“金蝉脱壳”用作算学术语或许最早出现于15世纪末16世纪初。

　　(二)“金蝉脱壳”的含义

　　《九章比类》和《历宗算会》所载金蝉脱壳法是指乘除运算不再使用九归或九九口诀，用加或减法代替，乘法运算中，使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减2，得数加乘数的二倍数；被乘数中减1，得数加乘数。除法运算中，使用除数及其半数进行运算，被除数中减去除数，商数加1；被除数中减去除数的一半，商数加5。其中，不同数值的运算要注意积数或商数的定位问题。这应该就是“金蝉脱壳”最初的含义。

　　《盘珠算法》对“金蝉脱壳”的解释与之不同，原文如下[17]1146：

　　金蝉脱壳诀法

　　蠢子清曰：……分物在位，人数在，只管一进一除，此一位进除殆尽，又从次位进除之，……直进除到末位俱尽，方才是数科量呼喝数目是也。二人分物，进一除二，三人分，进一除三……

　　根据其解释，此处的金蝉脱壳仅是指除法运算，只使用除数本身进行运算，商数加1则从被除数中减去除数一次。之后载有“二字奇法”[17]1147：

　　二字奇法

　　诗曰：二字赛归除，玄中妙更奇，贤愚从此学，尽在一时知。

　　止用进退二法，凡用(八)[分]③物，进一隔位而除之；凡用见总，退一隔位而加之，易明之见也。

　　“诗曰”中说“二字赛归除”，可知是在讲除法，但“诗曰”之后是对乘除运算的定位说明，除法运算时，商1放置于被除数之前，隔一位从被除数中减去除数；乘法运算时，从被乘数末位减1，之后隔一位加上乘数。其“金蝉脱壳诀法”同于“实如法而一”④，含义与《历宗算会》等书中的不同。程大位《算法纂要》(1598)“杂法”条中提道：“按金蝉脱壳及二字算等法，用倍、折、进、除”[18]。华印椿认为程氏所说的“二字算”当是《盘珠算法》中的“二字奇法”[6]，但后者并没有用到倍、折运算。

　　柯尚迁《数学通轨》(1578)中没有“金蝉脱壳”一词，目录中有“金蝉法”[19]1168，分为“金蝉乘法义”“金蝉归除义”[19]1182两种算法进行介绍，与《九章比类》《历宗算会》中的含义相似，不同之处在于，“金蝉乘法义”使用后乘法，《九章比类》和《历宗算会》则使用前乘法。此外，《数学通轨》金蝉除法的说明中有“进二除倍，添一还原”，这与其前文“置一原法，又置一个半法”以及其后所载例解不相符。

　　程大位《算法统宗》(1592)卷十七“杂法”中有“金蝉脱壳，又名乘除易会算诀”[20]，分别介绍了“因乘”法和“九归并除”法歌诀(图1)及例题，乘法含义与《九章比类》等书中的相同，但歌诀更简便，且对定位问题有说明。除法则与《九章比类》等书中的不同，歌诀为“加双下除倍，加一下除原，倍一挨身除，余皆隔位迁”，使用除数及其二倍数进行运算，商数加2，被除数中减去除数之二倍数；商数加1，被除数中减去除数；除数之二倍数的首位是1时，商数挨着被除数放置，否则商数与被除数相隔一位。华印椿认为程大位误解“九归并除歌”[6]，程氏阐述金蝉除说：“隔一位除也，只用一原法，而无倍折数”，华先生认为隔一位除者不限于原法，凡是倍数不进位时，都应当隔位除。但这几句是对“二句字诀”(图1)歌诀“有除隔位进，无除挨身进”的说明，并非对“九归并除法”的说明。而程氏所载“二句字诀”与《盘珠算法》中“二字奇法”相似，只用原除数进行运算，不使用除数之倍、折数。

　　潘逢禧《算学发蒙》(1882)称“金蝉脱壳法即飞归飞乘法，俗名蠢子数。皆以加减代乘除。虽布算稍嫌重叠，浅明易晓，极便童蒙，特附于此。”[24]后面分别介绍了“飞乘歌诀”和“飞归歌诀”，与《算法统宗》所载也基本相同。但是这里难免会给后世学者造成误解和困扰，因为在此之前就有“飞归”算法，如杨辉《算法通变本末》“习算纲目”条中有“穿除，又名飞归，不过就本位商数除而已”[25]，王文素《算学宝鉴》中亦有“飞归口诀”，与《算学发蒙》中的“飞归”完全是两类算法。不过潘氏对“金蝉脱壳法”的评价比较中肯，此方法虽然稍微烦琐，但是浅显易懂，便于初学者和知识浅陋者理解和掌握。

　　综上，“金蝉脱壳”一词并非首见于《盘珠算法》，《九章正明算法》《百川书志》《历宗算会》等书中就有记载，此方法首载于《九章比类》，名曰“乘除易会算诀”，或许是根据该算法的特点又取名为“金蝉脱壳”法。除了《盘珠算法》中所载“金蝉脱壳”法是以加减代除法运算，且只用原除数进行运算，与“实如法而一”相同。“金蝉脱壳”在数学中的本意是指用加减法代替乘除运算，即包含乘、除两种算法。其中，乘法一般是使用乘数及其二倍数进行运算，被乘数中减1，得数加乘数一次，被乘数中减2，得数加乘数之二倍数一次，有的得数置于被乘数之前，有的置于被乘数之后。除法最开始是使用除数及其半数进行计算，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加5，被除数中减去除数之半数一次。后来又出现了使用除数及其二倍数进行运算的金蝉除法，即商数加1，被除数中减去除数一次，商数加2，被除数中减去除数之二倍数一次，不同算书中对商数的摆放位置有不同说明。这类算法的主要特点是不使用九九或归除口诀，易学易会，但计算过程繁复，不能说是一种快速的运算方法。

　　二古算术语“金蝉脱壳”的演变

　　(一)“金蝉脱壳”术语的演变

　　除了“乘除易会算诀”，“金蝉脱壳”法还有其他名称，如《历宗算会》中称“金蝉脱壳”法为“连环算法”，《数度衍》称“乘除捷法，即金蝉脱壳法”。

　　梅文鼎《历算全书》(1723)“古算衍略”记载了“归除捷法”，口诀曰：“多上空加一，依前除莫疑，少前随上五，折半数除之，无除随上一，化下照前除”[26]，不使用九归口诀，利用除数及其半数进行运算，根据不同情形对商数的位置进行了详细说明，可知也是“金蝉脱壳”法。《算牖》在“金蝉脱壳”之后介绍了“酌定梅氏归除捷法”[23]768-769，除去“归除捷法”中间两句，只记前后四句歌诀，但所举例题采用商除法进行运算，与歌诀和说明不相符。无独有偶，罗士琳《比例汇通》(1818)卷一载有“西洋总诀”，口诀为“多隔上一，以前数除之；无随身一，以前数除之；少前多后随身五，以后数除之；法一身多隔上五，以后数除之”[27]，随后解释说“此即如金蝉脱壳，加双下除倍，加一下除原……”，但其后例解所介绍的并非类于金蝉脱壳法，而是商除法，看来也是混淆了两种方法。

　　此外，华印椿《珠算速计法》介绍了“赵氏新口诀除法”[28]，其中“简除”法，与梅氏“归除捷法”歌诀基本相同，也是金蝉脱壳法。施伯珩《商业应用珠笔算合璧》记载了“加减代乘除法”[29]，称“以加减代乘除法者，所谓金蝉脱壳法是也”，所载歌诀与《算法统宗》中的大体相同。

　　可见，由于种种原因，很多算书不再直接将“金蝉脱壳”作为该算法的名称，而出现了很多别名。还有的算书，直接混淆了“金蝉脱壳”法和商除法。

　　(二)“金蝉脱壳”含义的演变

　　除了术语的变化，有的数学家则在“金蝉脱壳”法的基础上发明了新的算法，含义也随之发生了变化。如《数度衍》中所载“乘除新法”[22]：

　　归除诀曰：进一空除原，进二空除倍，进二随除倍，进五空除半，进五随除半。

　　因乘诀曰：除一空加原，除二空加倍，除二随加倍，除五空加半，除五随加半。

　　每句口诀后有对应说明，用以明确商数和积数的摆放位置。计算时同样不使用口诀，不论乘除法，均使用乘数(或除数)及其二倍数和半数进行运算，可以说是综合了《九章比类》和《算法统宗》中的算法，对“金蝉脱壳”法进行了扩展。

　　再后来出现的剥皮乘除法、凑倍乘除法、扒皮法等可以说是“金蝉脱壳”法的进一步发展。如《珠算教程》将“剥皮乘法”[30]86-90作为珠算的基本乘法之一进行介绍，也称之为“凑倍乘法”。此书总结了这种方法的三句口诀，即“一、二、三，加几遍；四、五、六，改作半；七、八、九，当十算”，也可简称为“单、双、半”倍数法，针对不同情形，灵活使用乘数及其半数、二倍数进行运算。具体地说，若被乘数某位是1(或2、3)，被乘数中减去1(或2、3)，从其右位起加一(或二、三)次乘数，类似于“去一添原”；若被乘数某位是5，则被乘数中减去5，从其本位起加乘数之半数；若被乘数某位是6(或4)，则被乘数中减去6(或4)，从其本位起加乘数之半数，再从其右一位起加(或减去)一个乘数；若被乘数某位是7(或8、9)，则从被乘数中减去7(或8、9)，从本位起加一次乘数，再从其右一位起减去三(或两、一)次乘数。其中，需要用到加或减两次乘数时，也可直接使用乘数之二倍数进行运算。因此，书中还介绍了心算二、五倍法。

　　此书也介绍了珠算的基本除法之一：“剥皮除法”[30]141-151，也叫“累减法”或“倍数法”，根据商数放置位置的不同又分成隔位剥皮除法和不隔位(挨位)剥皮除法两类算法，实则方法相同。如隔位剥皮除法的口诀可大致归纳为：“大数空加几，隔位减几除；小半随进几，隔位减几除；够半随进五，不隔减半除；数近下加除，加到够减时，左位上商数，不隔减除数”。具体地说，当被除数大于或等于除数，则在被除数之左隔一位上商1，后在商之右隔一位上减去除数；若相同位数相比，被除数不足除数的一半，则在被除数之左挨位商1，再于商之右隔一位上减去除数；若相同位数相比，被除数小于除数，但达到除数的一半，则在被除数之左挨位上商5，再于商之右挨位减除数之半数；若相同位数相比，被除数虽小于除数，但与之接近，则在被除数之第二位起加上一个除数，再于被除数之左挨位商9，最后在商之右位减去除数……虽然也是使用除数及其半数、二倍数进行运算，但可采用的算法类型有“直减”“凑倍减”“凑十减”三种，规则较多，增加了初步估商的难度。针对此类除法，《世界珠算通典》中还介绍了“小扒皮”“大扒皮”“商一法”“商二法”“商五法”“商九法”等等，运算规则更多。

　　总之，在金蝉脱壳法的发展过程中，出现了越来越多不同的术语来表示这种算法，有的算法的含义也相应发生了变化，从而发展出了新的算法。如凑倍乘除法、剥皮乘除法、扒皮法等都是由“金蝉脱壳”法发展而来，虽然仍使用乘数(或除数)及其半数(或五倍数)和二倍数进行运算，但运算规则增多，相较于金蝉脱壳法复杂得多，理解起来也比之困难。运算中若遇被乘数或被除数某位数字较大，则需凑五、凑倍或凑十算，因此需灵活掌握计算方法。特别是除法运算时，初步估商的难度增大，出错的概率也更大。

　　三结语

　　上面考察了一些珠算辞典或著作对“金蝉脱壳”及其相关术语的解释，通过对古代数学著作中有关“金蝉脱壳”及其相关术语的分析，我们发现有些解释存在不少问题，不符合历史事实。特别是有些珠算辞典对“金蝉脱壳”等术语的介绍，没能充分体现出“金蝉脱壳”的含义及特点，还混淆了金蝉脱壳和凑倍乘除、剥皮乘除法等术语的含义，没有正确表述金蝉脱壳法与其相关算法的区别。

　　总的来说，“金蝉脱壳”是以加减代替乘除运算的一种简易算法，由“实如法而一”发展而来，含义与之相似，不同的是使用乘数(或除数)及其半数或二倍数进行运算。后来发展到使用乘数(或除数)及其半数(或五倍数)和二倍数进行运算，但都是直加、直减，比较简便且容易理解和掌握。现在由之发展起来的凑倍乘除等算法，需要针对被乘数或被除数的不同情况，而选择采用直加(减)、凑倍加(减)或凑十加(减)等法则进行计算，运算规则增多但也不失为一种简算法。它们的共同特点是，除了计算乘数(或除数)之倍数时可能会用到九九口诀，运算过程中不使用口诀，只用到加减法。